Halaman
BAB3Luas dan VolumeKamu sedangapa, Anisa?Aku inginmelapisi papan inidengan kertasberwarna. Tapi berapaluas papan ini, ya?Tentu saja. Hari inikita akan mempelajari caramenurunkan rumus luas bangundatar gabungan dan volumebangun ruang gabungan,lho.Ya, betul. Ayo, kitabelajar bersama!Wah, kamupandai sekali, Rio. Pastikamu sudah belajar luasdan volume, ya?Itu sih gampang.Papan itu kan terdiri ataspersegi panjang dansetengah lingkaran. Kamujumlahkan saja luaspersegi panjang dan luassetengah lingkaran.
30Matematika VIArif sedang membuat sebuah kandang ayam. Jikadiamati dari samping, atap kandang berbentuksegitiga dengan tinggi 45 cm dan panjang alas 75 cm.Sedangkan sisi kandang berbentuk persegi panjangdengan tinggi 50 cm dan panjang 75 cm. Berapa luassisi samping kandang yang dibuat Arif?Tahukah kamu bagaimana cara menghitung-nya? Bentuk sisi samping kandang merupakangabungan dari segitiga dan persegi panjang. Jadi, luassisi samping kandang merupakan penjumlahan luas segitiga dan persegi panjang.Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari materi berikut!A. Luas Bangun DatarSisi samping kandang yang dibuat Arif pada cerita di atas berbentuk segitigadan persegi panjang. Untuk mengetahui luas seluruh sisinya, kamu harusmengetahui cara menghitung luas segitiga dan persegi panjang.Kamu telah mempelajari cara menghitung luas berbagai macam bangundatar di kelas III dan kelas IV. Apakah kamu masih ingat? Mari kita pelajarikembali rumus menghitung luas berikut!1. PersegiPersegi adalah segi empat yang keempat sisinya sama panjang dankeempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Perhatikan gambar berikut!Panjang AB = BC = CD = DAPanjang sisi persegi disebut sisi dan ditulis s. Luaspersegi dapat ditentukan dengan mengalikan panjang sisi-sisinya.Luas daerah persegi = sisi × sisi= s × s2. Persegi panjangPersegi panjang adalah segi empat yang sisi-sisi berhadapannya samapanjang dan keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Perhatikangambar berikut!AmbangsBACDsAFEGHp
31Luas dan VolumeKegiatan 1Coba kerjakan bersama teman sebangkumu!1. Siapkan selembar kertas HVS ukuran A4 (21 × 29,7), alat tulis, penggaris,dan gunting!2. Buatlah sebuah garis diagonal pada kertas HVS!3. Potonglah kertas menurut garis diagonal yang telah kamu buat! Hasilnyaberupa dua buah segitiga.Luas daerah persegi panjang = panjang × lebar= p × A3. SegitigaSegitiga adalah bangun datar yang dibatasi tiga buah ruas garis yangujung-ujungnya saling bertemu dan membentuk sudut. Untuk mencari luasdaerah segitiga coba kamu lakukan kegiatan berikut!4. Bandingkan kedua segitiga tersebut! Bandingkan ukuran panjang alasdan tinggi masing-masing segitiga! Samakah kedua segitiga tersebut?5. Coba kamu buat kesimpulan dari kegiatan ini!Sekarang, mari kita bahas bersama-sama kegiatan di atas. Pada kegiatandi atas, kamu memotong kertas berbentuk persegi panjang menjadi dua buahsegitiga yang sama persis. Dengan demikian, luas daerah segitiga sama dengansetengah luas daerah persegi panjang.Luas daerah segitiga = 12 × luas daerah persegi panjang= 12 × p × APada segitiga, panjang = alas (p = a) dan lebar = tinggi (A = t). Jadi, luasdaerah segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut.ApApAp ̄ ̄
32Matematika VILuas segitiga = 12 × alas × tinggi= 12 × a × t4. TrapesiumTrapesium adalah segi empat yang memiliki sepasang sisi berhadapansejajar. Luas daerah trapesium dapat ditentukan dengan cara berikut.Buatlah sebuah trapesium pada selembar kertas. Kita namakan trapesiumABCD. Buatlah sebuah garis EF yang memotong tinggi trapesium menjadi 2sama besar (BF = CF = 12BC)! Potonglah trapesium sesuai dengan garis EF!Setelah itu, bentuk menjadi persegi panjang seperti gambar berikut! ̄BACDEFtCBFcFED/APersegi panjang yang terbentuk memiliki panjang AB + CD dan tinggiBC. Dengan demikian, panjang persegi panjang tersebut adalah jumlah sisisejajar trapesium. Sedangkan lebarnya adalah setengah tinggi trapesium.Jadi, luas daerah trapesium dapat kita nyatakan sebagai berikut.Luas daerah trapesium = luas daerah persegi panjang CBFF’= p × A= (AB + CD) × 12t= jumlah sisi sejajar × 12tinggiSekarang, coba kamu kerjakan pelatihan berikut!
33Luas dan VolumePelatihan 1Coba kamu kerjakan di buku latihanmu!Ayo, menentukan luas bangun berikut! Nomor 1 sebagai contoh.1. Luas persegi = sisi × sisi= 5 cm × 5 cm= 25 cm22. Luas persegi panjang = . . . × . . .= . . . × . . .= . . . .3. Luas segitiga = . . . × . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . .4. Luas trapesium = . . . × . . .= . . . × . . .= . . . .5. Luas trapesium = . . . × . . .= . . . × . . .= . . . .5 cm5 cm15 dm25 dm15 cm40 cm35 m70 m32 cm20 cm45 cm5. Jajaran genjangJajaran genjang adalah segi empat yang sisi-sisi sejajarnya berhadapandan sama panjang. Luas daerah jajaran genjang dapat kita cari melaluikegiatan berikut.Kegiatan 2Coba kerjakan bersama teman sebangkumu!1. Siapkan selembar kertas, alat tulis, penggaris, dan gunting!2. Gambarlah sebuah jajaran genjang pada selembar kertas! Kita namakanjajaran genjang ABCD.3. Buatlah sebuah garis dari titik A yang tegak lurus terhadap garis AB.Potong sesuai garis tersebut, kemudian susun menjadi sebuah persegipanjang seperti gambar berikut!
34Matematika VI4. Diskusikan dengan teman sebangkumu bagaimana cara mencari luasdaerah sebuah jajaran genjang! Sampaikan hasil diskusimu di depankelas! ̄BACDEatABE1EC/DBagaimana hasil diskusimu? Coba kamu cocokkan dengan pembahasanberikut ini. Dari kegiatan di atas, ternyata luas jajaran genjang ABCD samadengan luas daerah persegi panjang ABEE’.Luas daerah jajaran genjang = luas persegi panjang= p × AJika kamu perhatikan dengan saksama, panjang persegi panjang samadengan panjang alas (a) jajaran genjang. Sedangkan lebar persegi panjangsama dengan tinggi (t) jajaran genjang. Dengan demikian, luas daerah jajarangenjang adalah sebagai berikut.Luas daerah jajaran genjang = luas daerah persegi panjang= p × A= a × t6. Belah ketupatBelah ketupat merupakan jajaran genjang yang panjang sisi-sisinya sama.Luas belah ketupat dapat dicari sebagai berikut.Sebuah belah ketupat dipotong menurut garis-garis diagonalnya menjadi3 buah segitiga seperti gambar berikut. Segitiga-segitiga tersebut kemudiandisusun sehingga membentuk sebuah persegi panjang. Perhatikan gambarberikut! ̄AEd2d1EEcACBBDC
35Luas dan VolumeBerdasarkan gambar di atas, dapat kita ketahui bahwa luas daerah belahketupat sama dengan luas daerah persegi panjang. Panjang persegi panjangyang terbentuk sama dengan panjang diagonal d1. Sedangkan lebar persegipanjang sama dengan setengah panjang diagonal d2. Jadi, luas daerah belahketupat dapat ditentukan sebagai berikut.Luas daerah belah ketupat = luas daerah persegi panjang= p × A= d1 × 12d2= 12 × d1 × d27. Layang-layangLayang-layang adalah segi empat dengan dua pasang sisi yangberdekatan sama panjang. Layang-layang memiliki dua buah diagonal yangberpotongan tegak lurus. Perhatikan gambar berikut! ̄AOd2d1OcE1ACBBDCOSebuah layang-layang ABCD dipotong menurut diagonalnya. Potongantersebut kemudian disusun menjadi sebuah persegi panjang. Dengandemikian, luas daerah layang-layang sama dengan luas daerah persegipanjang. Panjang persegi panjang tersebut sama dengan panjang diagonal1 (d1). Sedangkan lebarnya sama dengan setengah panjang diagonal2§· ̈ ̧©¹212d.Luas daerah layang-layang = luas daerah persegi panjang= p × A= 12 × d1 × d2
36Matematika VIPelatihan 2Coba kerjakan di buku latihanmu!Ayo, menentukan luas bangun berikut! Nomor 1 sebagai contoh.1. Luas daerah jajaran genjang = a × t= 8 cm × 5 cm= 40 cm22. Luas daerah belah ketupat = . . . × . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . .3. Luas daerah layang-layang = . . . × . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . .4. Luas daerah jajaran genjang = . . . × . . .= . . . × . . .= . . . .5. Luas daerah layang-layang = . . . × . . .= . . . × . . .= . . . .5 cm8 cm6 cm6 cm16 cm6 cm85 mm35 mm24 dm720 cmKegiatan 3Coba kerjakan bersama teman sebangkumu!1. Siapkan selembar kertas, gunting, alat tulis, dan penggaris!2. Gambarlah sebuah lingkaran pada selembar kertas! Potong lingkaranmenurut garis tepi lingkaran!3. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 8 bagian yang sama dengan caramelipat lingkaran tersebut!4. Gambarlah garis bagi hasil lipatanmu! Potonglah lingkaran menurutgaris bagi tersebut!5. Ambillah salah satu bagian, kemudian potong menjadi 2 sama besar!8. LingkaranLuas daerah lingkaran dapat kamu cari melalui kegiatan berikut.
37Luas dan VolumeDengan demikian, luas daerah lingkaran adalah sebagai berikut.Luas daerah lingkaran = Sr2atauLuas daerah lingkaran = 14Sd2Untuk menguji pemahamanmu, coba kerjakan pelatihan berikut! ̄pA6. Susunlah potongan-potonganlingkaran tersebut sehingga me-nyerupai suatu persegi panjang!7. Potonglah sebuah lingkaran lagimenjadi 16 bagian sama besar,kemudian lakukan langkah 5–6di atas!8. Kesimpulan apa yang dapat kamu ambil? Ya, luas lingkaran samadengan luas persegi panjang. Panjang persegi panjang sama dengansetengah keliling lingkaran dan tinggi persegi panjang sama dengan jari-jari lingkaran. Misalnya, jari-jari lingkaran adalah r dan keliling lingkaranadalah 2Sr. Coba kamu lengkapi titik-titik berikut!Luas daerah lingkaran = luas daerah persegi panjang= p × A= keliling lingkaran × jari-jari= . . . × . . .= . . . .Jadi, luas daerah lingkaran adalah . . . .Pelatihan 3Coba kerjakan di buku latihanmu!Ayo, menentukan luas daerah bangun berikut! Nomor 1 sebagai contoh.1. Luas daerah lingkaran = 14Sd2= 14× 227 × 3522. Luas daerah lingkaran = . . . .= . . . .35 cm13 cm
38Matematika VI45 cm75 cm50 cmBeberapa bangun datar dapat digabungkan menjadi satu. Misalnya, sepertisisi kandang ayam Arif pada cerita di depan. Bagaimana cara menghitung luassisi kandang tersebut? Simaklah contoh berikut dengan saksama!ContohArif membuat sebuah kandang ayam. Jika dilihat dari samping, sisi kandangtersebut tampak seperti gambar berikut. Berapa luas sisi kandang tersebut?Penyelesaian:Diketahui: Tinggi segitiga 45 cm.Panjang alas segitiga 75 cm.Lebar persegi panjang 50 cm.Panjang persegi panjang 75 cm.Ditanyakan: Luas sisi kandang = . . .?Jawab:Langkah 1: menghitung luas masing-masing bangun datar.Luas daerah segitiga = 12 × a × t = 12 × 75 × 45 = 1.650 cm2Luas daerah persegi panjang = p × A = 75 × 50 = 3.750 cm2Langkah 2: menghitung luas seluruhnya.Luas sisi kandang = luas daerah segitiga + luas daerah persegi panjang= 1.650 cm2 + 3.750 cm2= 5.400 cm2Jadi, luas sisi kandang yang dibuat Arif adalah 5.400 cm2.Tidak sulit, bukan? Ayo, coba kamu kerjakan pelatihan berikut!49 cm3. Luas daerah = . . . .= . . . .= . . . .4. Luas daerah = . . . .= . . . .= . . . .5. Luas daerah = . . . .= . . . .= . . . .77 dm147 mm
39Luas dan VolumePelatihan 4Coba kerjakan bersama kelompokmu!a. Ayo, menentukan luas bangun datar gabungan berikut! Kerjakan sepertinomor 1!1.Luas = luas daerah persegi panjang +luas daerah trapesium= (p × A) + (jumlah sisi sejajar × 12tinggi)= (6 × 5) + ((7 + 10) 12 × 4)= 30 + (17 × 2)= 30 + 34= 64 cm22.3.4.5.5 cm6 cm10 cm4 cm7 cm70 cm30 cm10 cm15 cm40 cm46 cm50 cm80 cm46 cm14 dm28 dm24 dm
40Matematika VI6.7.8.9.10.b. Ayo, menentukan luas bangun yang berwarna biru!1.2.3.25 cm5 cm35 cm15 cm75 cm40 cm53 cm55 cm15 cm4 cm5 cm10 cm14 cm24 dm12 dm20 dm15 dm40 dm10 dm10 dm60 mm20 mm28 mm500 mm135 mm400 mm70 mm165 mm300 mm45 cm30 cm35 cm
41Luas dan VolumessstAp4.5.20 cm60 cm18 cm60 dm80 dm16 dm10 dm60 dmB. Volume Bangun RuangKamu telah mempelajari kubus, balok, prisma, dan tabung di kelas V. Kaliini, kamu akan mempelajari cara menurunkan rumus volume kubus, balok,prisma segitiga, tabung, limas segi empat, kerucut, dan bola.1. KubusKubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam sisi berbentukpersegi. Volume kubus dapat ditentukan dengan cara mengalikan luas alaskubus dengan tinggi kubus.Volume kubus = luas alas × tinggi= luas daerah persegi × tinggi= (sisi × sisi) × sisi= sisi × sisi × sisi= s32. BalokBalok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh tiga pasang persegipanjang. Pasangan persegi panjang yang berhadapan memiliki bentuk danukuran yang sama. Volume balok ditentukan dengan cara mengalikan luasalas balok dengan tingginya.Volume balok = luas alas × tinggi= luas daerah persegi panjang ×tinggi= p × A× tBACDEHFGKIJLOPMN
42Matematika VItrtab3. Prisma segitigaPrisma segitiga adalah bangun ruang yang bagian atas dan alasnyaberbentuk segitiga. Volume prisma segitiga ditentukan dengan caramengalikan luas alas dengan tinggi prisma. Perhatikan gambar prismasegitiga berikut!Bidang alas prisma tersebut adalah segitiga DEF. Panjang alas segitigatersebut adalah a dan tingginya b. Adapun tinggi prisma tersebut adalah t.Dengan demikian, volume prisma segitiga adalah sebagai berikut.Volume prisma segitiga = luas alas × tinggi= luas daerah segitiga × tinggi= 12 × a × b × t4. TabungTabung merupakan sebuah prisma dengan alas berbentuk lingkaran.Perhatikan gambar tabung berikut!Bidang alas tabung tersebut berbentuk lingkaran dengan jari-jari r.Adapun tinggi tabung adalah t. Sebelumnya telah kita ketahui bahwa tabungmerupakan sebuah prisma. Dengan demikian, volume tabung dapatditentukan dengan cara mengalikan luas alas dengan tinggi tabung.Volume tabung = luas alas × tinggi= luas daerah lingkaran × tinggi= S × r2 × t= 14× S × d2 × tCoba kamu kerjakan pelatihan berikut!BACDEFPelatihan 5Coba kerjakan di buku latihanmu!a .Ayo, menentukan volume bangun ruang berikut! Kerjakan seperti nomor 1.1. Volume kubus = luas alas × tinggi= sisi × sisi × sisi= 4 cm × 4 cm × 4 cm= 64 cm34 cm4 cm4 cm
43Luas dan Volume2. Volume kubus = . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . .3. Volume balok = . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . .4. Volume prisma segitiga = . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . .5. Volume tabung = . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . × . . . × . . .= . . . .b. Ayo, menentukan volume gabungan berikut!1.2.3.30 cm12 cm63 cm21 cm13 mm13 mm13 mm40 cm30 cm120 cm12 cm4.5.20 mm17 cm5 dm20 mm20 mm20 mm50 mm8 cm17 cm17 cm12 dm7 dm20 dm14 cm15 cm25 cm25 cm15 cm15 cm50 cm70 cm20 cm5 dm
44Matematika VI5. Limas segi empatLimas adalah suatu bangun yang titik-titik sudut alasnya dihubungkandengan sebuah titik puncak. Sedangkan limas segi empat adalah limas yangalasnya berbentuk segi empat. Limas segi empat dapat diperoleh dengancara membelah kubus menjadi 6 bagian yang sama. Perhatikan gambarberikut!2aABCDTEFGH2a2aABCDT2atVolume limas segi empat dapat ditentukan sebagai berikut.Volume limas segi empat = volume kubus6Volume limas segi empat = uluas alas tinggi6= uluas alas 2a6= uluas alas a3Dengan demikian, volume limas segi empat adalah sebagai berikut.Volume limas segi empat = uluas alas tinggi36. KerucutKerucut adalah limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Volume kerucutdapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut.Volume kerucut = uluas alas tinggi3Volume kerucut = 13 × luas alas × tinggi
45Luas dan VolumeVolume kerucut = 13 × luas lingkaran × tinggiVolume kerucut = 13 × Sr2 × t7. BolaPerhatikan gambar di samping!Volume bola dapat ditentukan dengan pendekatanvolume tabung yang tingginya sama dengan jari-jari tabungsehingga diperoleh persamaan berikut.Volume bola = 43 × S × r3Sekarang, coba kamu kerjakan pelatihan berikut!trrPelatihan 6Coba kerjakan di buku latihanmu!Ayo, menentukan volume bangun berikut!1.4.2.5.12 cm6 cm12 cm14 cm3.45 cm21 cm9 cm15 cm15 cm15 cm14 cm6 cm
46Matematika VIAku TahuPerlu DiingatLangkah pertama dalam menentukan luas gabungan bangun datar atauvolume gabungan bangun ruang adalah menentukan bangun-bangunpenyusunnya.Menyusun berbagai bangun datar menjadi bangun datar baru dinamakantangram.Inti Sarip1. Luas bangun datarNo.Bangun datarLuas bangun datar1.PersegiLuas = sisi × sisi2.Persegi panjangLuas = p × A3.SegitigaLuas = 12 × a × t4.TrapesiumLuas = jumlah sisi sejajar × tinggi5.Jajaran genjangLuas = a × tssAtatat
47Luas dan Volume6.Belah ketupatLuas = 12 × d1 × d27.Layang-layangLuas = 12 × d1 × d28.LingkaranLuas = Sr2 = 14Sd2d1d2d1d2r2. Volume bangun ruangNo.BangunVolume1.KubusVolume = sisi × sisi × sisi2.BalokVolume = p × A × t3.Prisma segitigaVolume = 12 × a × b × t4.TabungVolume = S × r2 × t = 14× S × d2 × tssspAttabtr
48Matematika VI5.Limas segi empatVolume = uluas alas t36.KerucutVolume = 13 × S×r2 × t7.BolaVolume = 43 × S×r3ttrr
49Luas dan VolumeUnjuk KemampuanA.Ayo, memilih satu jawaban yangpaling tepat!1. Luas bangun berikut . . . cm2.a. 32b. 192c. 224d. 2562. Rumus luas bangun berikutadalah . . . .a.12 × diagonal ×diagonalb. diagonal × diagonalc.panjang × lebard.12 × alas × tinggi3. Luas daerah lingkaran berikutadalah . . . cm2.a. 616b. 308c. 196d. 884. Luas daerah yang berwarna biruadalah . . . .a. 86b. 100c. 314d. 4005. Luas daerah bangun berikutadalah . . . .a. 70b. 115,5c.185,5d. 4626. Rumus volume bangun berikutadalah . . . .a. p × A × tb.S × r2 × tc.12 × S × r2 × td.12 × S × A × t7. Volume bangun berikut adalah. . . .a. 39,25b. 2.744c.2.704,75d. 2.783,258. Volume bangun berikut adalah. . . .a. 92b. 102c. 172d. 1929. Sebuah kubus bervolume 4.913cm3 memiliki sisi yang pan-jangnya . . . cm.a. 15b. 1 6c. 17d. 1810. Volume balok berikut adalah960 cm3. Jadi, lebar balok adalah. . . cm.a. 8b. 1 0c. 12d. 1512 cm8 cm8 cm16 cm14 cm20 cm7 cm10 cm14 cm12 cm8 cm12 cm4 cm12 cm10 cm10 cm
50Matematika VIB.Ayo, mengisi titik-titik berikutdengan tepat!1.Luas daerah bangun di atas . . . .2. Luas daerah ba-ngun di sampingadalah . . . .3. Luas daerah bangunyang berwarna biruadalah . . . .4. Volume tabung disamping adalah . . . .5. Volume sebuah limas segi empatyang tingginya 12 cm adalah2.304 cm3. Luas alas prismatersebut adalah . . . .C.Ayo, menjawab pertanyaan berikutdengan tepat!1.Sebuah kompleks perumahanbentuknya seperti gambar diatas. Coba kamu hitung berapaluas kompleks perumahantersebut!2.Dewi membuat sebuah hiasanyang bentuknya seperti gambardi atas. Berapa luas hiasan yangdibuat Dewi?3. Pak Yani membuat sebuah akua-rium berbentuk prisma segitiga.Panjang alas akuarium tersebut45 cm, tinggi alasnya 30 cm, dantinggi prisma tersebut 50 cm. Be-rapa volume akuarium tersebut?4. Dino mempunyai sebuah bolamainan yang volumenya34.4963cm3. Berapa cm jari-jaribola tersebut?5. Ahmad membuat mainan yangterdiri atas balok dan setengahlingkaran seperti gambar be-rikut. Coba hitung volume main-an tersebut!12 cm10 cm28 cm14 cm12 m7 m400 m350 m10 cm5 cm5 cm15 cm7 cm30 cm20 cm20 cm